오다기리 박의 알고리즘 노트

아래 그림처럼 3차원 공간의 곡면 영역 D와 경계선 ∂D가 있다고 하자. 스토크스 정리는 어떤 벡터장의 컬에 대한 면적분이, 벡터장을 그 면의 경계선을 따라 선적분한 결과와 같다는 정리이다. 스토크스 정리는 그린 정리와 유사한데, 차이점은 그린 정리는 2차원 영역에 대해서 적용 가능하며 선적분과 이중적분을 연관시키는 반면, 스토크스 정리는 3차원 곡면에 대해서 적용 가능하며 선적분과 면적분을 연관시킨다. 식을 살펴보자. 우변의 curl은 하나의 미분연산자를 가지고 있으며 그것을 2차원 적분한다. 미분 한개와 적분 한개가 서로 생쇄될 것이고 결국 일차원 적분만 남게 된다. 그 결과가 좌변이다. 그린 정리와 마찬가지로 좌변의 선적분은 우변의 면적분이 정의된 영역의 경계선을 따라 돌아가는 선적분과 관계가 있다..

그린 정리는 선적분(1D)과 이중적분(2D) 사이의 관계를 설명했었지만, 발산 정리는 한차원 더 높혀 면적분(2D)과 삼중적분(3D) 사이의 관계를 설명해주는 정리이다. 아래 그림처럼 구 영역 D와 구면 ∂D가 있다고 하자. 발산 정리(Divergence theorem) 또는 가우스 정리(Gauss's theorem)는 어떤 벡터함수의 발산에 대한 부피적분이 그 벡터함수의 면적분과 같다는 관계이다. 수식으로 나타내면 다음과 같다. 좌변을 살펴보면 미분(∇)과 적분이 혼재돼 있다. 따라서 하나의 적분요소는 미분과 상쇄된다. 3차원 적분에서 하나의 적분요소가 빠지면 그것은 2차원 적분이 될 것이다. 그것이 바로 우변이다. 발산 정리 또는 가우스 정리는 물리학에서 특히 그 활용범위가 넓다. 벡터장의 발산은 그..

미적분학의 기본 정리는 다음과 같다. 식을 살펴보면 '미시'를 담당하는 미분 연산과 '거시'를 담당하는 적분 연산을 함께 취하여 원래 함수가 나온다는 것을 알 수 있다. 미적분학의 기본 정리는 미시와 거시를 이어주는 역할을 한다. 이 글에서 알아볼 그린 정리는 미시와 거시의 관계를 이변수함수로 확장한 개념이다. 그린 정리(Green's Theorem)는 평면 위에 있는 영역 D위의 폐곡선 ∂D의 경로를 따라가는 벡터장 F의 선적분이 D에서 벡터장 F의 Curl의 적분과 같다는 정리이다. Curl은 벡터이므로 Curl의 적분은 벡터장의 면적분을 참고하자. 아래 그림처럼 벡터장 F위에 놓여있는 사각형 경로∂D를 따라 F를 선적분한다고 하자. 즉 반시계 방향으로 벡터를 적분하는 것이다. 한편, C로 둘러싸인 ..

다중적분에서 면적분은 3차원 공간의 곡면 위에 정의된 함수에 대한 적분이다. 평면 위에 정의된 함수의 이중 적분을 일반화한 개념이다. 면적분은 스칼라 장에서 이루어질 수도, 벡터 장에서 이루어질 수도 있다. 곡면 위에서 면적분을 계산하기 위해서는 곡면의 표현식이 매개곡면 형태로 주어지는 것이 좋다. 우선 곡면의 매개방정식 함수을 다음과 같이 나타낸다. 여기서 D는 2차원 정의역이고 이다. 스칼라 장의 면적분 곡면 S 위에서 스칼라 함수 f의 적분은 스칼라 함수 f(x, y, z) = 1의 곡면 S 위에서의 적분, 즉 곡면의 넓이를 확장한 개념이다. f(x, y, z)가 S 위에서 연속인 함수라면, S 위에서 f의 면적분은 다음과 같이 정의된다. 스칼라 장의 면적분 (곡면이 그래프로 주어졌을 때) 곡면 S..

3차원상의 곡면을 매개방정식으로 나타내보자. 곡면은 3개의 성분 x, y, z으로 표현되며 각 성분은 2개의 매개변수 u, v에 대한 식으로 이루어져 있다. 곡면의 매개방정식은 함수 로 나타낸다. D는 2차원에 들어있는 정의역이다. 그러니까 2차원의 두 매개변수가 함수 φ를 통해서 3차원 공간의 곡면으로 변한다는 뜻이다. 이렇게 만들어진 곡면을 다음과 같이 표기한다. 만약 φ가 미분 가능하거나 C1 함수이면 S를 '미분가능한 곡면' 또는 'C1 곡면'이라고 한다. 접벡터 매개곡면 S가 (u0, v0) 에서 미분 가능할 때 이 점에서 곡면의 접벡터를 계산해보자. 곡면 위의 한 점에서 접평면을 정의하기 위해서는 접벡터를 알아야 하기 때문에 접벡터 먼저 짚고 넘어가도록 하자. 접벡터를 계산하기 위해서는 접벡터..

3차원 공간 속의 곡선을 따라가면서 수행하는 선적분에 대해 알아보자. 수학적으로 곡선이라 함은 하나의 변수로 표현할 수 있는 도형이다. 그 하나의 변수가 선적분의 적분변수에 해당한다. 고등학교 과정에서 배운 y = f(x)를 적분하는 것도 물론 선적분이다. 이 때의 곡선은 x축 변수에 따라 표현된다. 선적분은 직선 위의 정적분을 곡선 위의 적분까지 일반화한 개념이다. 스칼라 장에서 이루어질 수도, 벡터 장에서 이루어질 수도 있다. 스칼라 장의 선적분은 밀도 분포가 주어진 끈의 질량을 구하는 문제로 생각할 수 있으며, 벡터 장의 선적분은 어떤 역장이 주어진 경로를 따라 운동하는 물체에 한 일을 구하는 문제로 생각할 수 있다. 스칼라 장과 벡터 장의 선적분의 정의는 서로 전환 가능하다. 즉, 벡터 장의 선적..

3차원 공간에서의 몇 가지 미분 연산자에 대해 알아보자. 델(del)이라고 불리는 역삼각형의 기호(∇)이다. 델은 고등학교 수학과 대학 수학을 가르는 중요한 기준 중에 하나다. 델과 관련해서 꼭 알아야 할 두 가지 중요한 포인트가 있다. 하나는 델이 미분을 위한 연산자라는 점이고 다른 하나는 델이 벡터처럼 동작한다는 점이다. 실제로 델은 다음과 같이 정의된다. 델의 몇 가지 기본적인 연산들을 살펴보자. 1. 그래디언트(Gradient) 델이 어떤 스칼라 함수 f (x, y, z)에 적용되어 벡터를 결과로 얻는 경우이다. 벡터니까 방향이 있다. 그리고 델은 기본적으로 미분, 즉 변화량을 뜻한다. 결과적으로 그래디언트는 스칼라 함수가 최대로 변하는 방향을 나타낸다. 가장 대표적인 예로 이변수함수인 f (x,..

3차원 공간을 나타내기 위해 사용하는 몇 가지 좌표계에 대해서 알아보려고 한다. 우리에게 가장 익숙한 직교 좌표계는 직각으로 만나는 축들을 이용하여 위치를 표현한다. 다중적분을 이용하여 3차원 부피를 적분할 때 적분 요소는 dxdydz이다. 이것은 3차원 공간에서 x, y, z가 극소량으로 변화할 수 있는 범위를 표현한 것으로, 세 변이 각각 dx, dy, dz인 정육면체의 부피라고 할 수 있다. 따라서 dxdydz는 극소한 부피요소, 즉 dV라고 할 수 있다. 직교좌표계에서 공간 속의 한 점 P(x, y, z)를 각 축 방향으로 조금씩 변화시켜서 얻은 점을 Q라 하면 Q는 Q(x+dx, y+dy, z+dz)가 된다. 이 두 점 사이의 거리 ds는 피타고라스 정리에 의해 ds2 = dx2 + dy2 + ..