그린 정리(Green's Theorem)

미적분학의 기본 정리는 다음과 같다.

식을 살펴보면 '미시'를 담당하는 미분 연산과 '거시'를 담당하는 적분 연산을 함께 취하여 원래 함수가 나온다는 것을 알 수 있다. 미적분학의 기본 정리는 미시와 거시를 이어주는 역할을 한다. 이 글에서 알아볼 그린 정리는 미시와 거시의 관계를 이변수함수로 확장한 개념이다.

 

 

그린 정리(Green's Theorem)는 평면 위에 있는 영역 D위의 폐곡선 ∂D의 경로를 따라가는 벡터장 F의 선적분이 D에서 벡터장 F의 Curl의 적분과 같다는 정리이다. Curl은 벡터이므로 Curl의 적분은 벡터장의 면적분을 참고하자. 

 

 

아래 그림처럼 벡터장 F위에 놓여있는 사각형 경로∂D를 따라 F를 선적분한다고 하자. 즉 반시계 방향으로 벡터를 적분하는 것이다. 

 

 

 

 

 

한편, C로 둘러싸인 내부 영역에서 F의 Curl를 구해보자. 각 영역에서 반시계 방향의 회전 Curl을 표시하면 다음과 같다.

 

 

 

 

그리고 이웃한 Curl은 서로 소거된다.

 

 

 

 

이 때 최외곽에 남아있는 Curl이 처음에 구했던 사각형 경로 ∂D를 따라 F를 선적분한 것과 같다. 결론적으로 수식으로 나타내면 다음과 같다.

우변을 살펴보면 미분(∇)과 적분이 혼재돼 있다. 따라서 하나의 적분요소는 미분과 상쇄된다. 2차원 적분에서 하나의 적분요소가 빠지면 그것은 1차원 적분이 될 것이다. 그것이 바로 좌변이다.