선적분(Line Integral)

3차원 공간 속의 곡선을 따라가면서 수행하는 선적분에 대해 알아보자.

 

 

수학적으로 곡선이라 함은 하나의 변수로 표현할 수 있는 도형이다. 그 하나의 변수가 선적분의 적분변수에 해당한다. 고등학교 과정에서 배운 y = f(x)를 적분하는 것도 물론 선적분이다. 이 때의 곡선은 x축 변수에 따라 표현된다.

 

 

선적분은 직선 위의 정적분을 곡선 위의 적분까지 일반화한 개념이다. 스칼라 장에서 이루어질 수도, 벡터 장에서 이루어질 수도 있다. 스칼라 장의 선적분은 밀도 분포가 주어진 끈의 질량을 구하는 문제로 생각할 수 있으며, 벡터 장의 선적분은 어떤 역장이 주어진 경로를 따라 운동하는 물체에 한 일을 구하는 문제로 생각할 수 있다. 스칼라 장과 벡터 장의 선적분의 정의는 서로 전환 가능하다. 즉, 벡터 장의 선적분은 (스칼라 장을 이루는) 접성분의 선적분과 같다.

 

 

그림과 같이 하나의 변수 t에 따라 3차원 공간에서 곡선 c가 정의된다고 하자. 

 

 

 

 

스칼라 장의 선적분

 

점 (x, y, z)에서 질량밀도를 스칼라 f(x, y, z)로 놓으면 f의 선적분은 전선의 총질량이다. f(x, y, z)가 온도를 나타낸다면 선적분은 전선의 평균온도를 나타낸다. 

 

 

곡선 c 위에서 스칼라 f(x, y, z)의 선적분은 c가 C1 연속이고 합성함수 t -> f(x(t), y(t), z(t))가 [a, b]에서 연속일 때 다음과 같이 정의한다.

f =1이면, 선적분은 c의 호의 길이가 된다.

 

 

벡터 장의 선적분

 

점 (x, y, z)에서 힘의 방향을 벡터 F(x, y, z)로 놓으면 F의 선적분은 곡선을 따라서 물체가 한 일의 양이다. 일은 물리적인 힘을 작용하여 그 방향으로 물체를 움직이는 데에 들인 에너지와 같다.

 

 

F가 곡선 c 위에서 연속이라고 하자. c 위에서 F의 선적분은 다음과 같이 정의한다.

즉, 구간 [a, b]에서 F와 c' 의 내적을 적분한다.

 

 

이번에는 화살표를 이용하여 벡터 장의 선적분을 조금 다르게 표현해보자. 힘 F를 작용하여 dr만큼 이동했을 때의 극소한 일의 양은 dW = F⋅dr 로 정의된다. 이 양변을 적분하면 전체 일을 얻는다. 이때 우변의 적분이 선적분이다.

 

 

 

 

여기서도 벡터 장의 선적분은 힘 벡터와 물체가 움직인 방향 벡터의 내적을 적분한 값임을 알 수 있다.

 

 

 

 

[참고] 이종필. 『이종필의 아주 특별한 상대성이론 강의』. 동아시아, 2015.