오다기리 박의 알고리즘 노트

측량텐서에 대해 알아보기 위해 델(del), 반변벡터, 공변벡터에 대해 먼저 알아보자. 미분연산자인 델 연산자는 다음과 같이 정의된다. 그리고 델의 각 성분을 다음과 같이 표기해보자. 이 때 델의 성분들 각각은 벡터의 기저(basis) 역할을 수행할 수 있다. 즉 다음 식이 성립한다. 미분은 곡선의 접선이다. 이 개념을 확장하면 델의 각 성분은 임의의 곡면에서 각 축의 방향으로 접선을 그은 벡터성분에 해당한다. 어떤 좌표계의 기저는 우리가 임의로 잡을 수 있는데, 위 식을 기저로 잡으면 곡면에서의 임의의 좌표계 (x, y, z)를 표현하기 쉽다. 다음 계산을 보자. 델의 각 성분과 벡터(x, y, z)의 각 성분이 축약되어 불변인 양이 만들어진다. 따라서 ∇a는 첨자가 아래에 붙은 공변벡터(covaria..

3차원 공간벡터는 3개의 성분을 가지며, x, y, z 성분을 가진다. 4벡터 즉, 4차원 벡터는 4개의 성분을 가지며 3개의 공간성분(x, y, z)에 시간성분(t)이 하나 더 들어가 있다. 시간 성분이 새롭게 들어가는 이유는 상대성이론이 시간과 공간을 하나로 엮었기 때문이다. 상대성이론에서 시간과 공간이 하나로 엮여 시공간(spacetime)이 된 것은 광속 때문이다. 아인슈타인은 특수상대성이론을 만들면서 모든 관성좌표계에서 광속이 항상 일정하다는 '광속불변'을 자기 이론의 첫 번째 전제조건으로 내세웠다. 광속도 속력의 일종이므로 시간과 공간의 변수들로 정의되는 양이다. 그런데 이 값이 임의의 관성좌표계(서로 등속운동을 하는 좌표계)에서 항상 똑같은 값을 가지려면 시간과 공간이 특별하게 얽힐 수 밖에..

3D 공간에 있는 어떤 물체(점p)를 원점O 기준으로 회전 시키는 상황을 생각해보자. 회전 행렬(Rotation Matrix)을 이용한 회전 길이가 1인 회전축 u를 기준으로 반시계 방향으로 θ 만큼 회전할 때 3차원 점 p에 곱해야 할 3x3 행렬은 다음과 같이 계산된다. 특히, 축 x = (1, 0, 0), y = (0, 1, 0), z = (0, 0, 1) 을 기준으로 하는 회전 행렬은 계산해보면 각각 다음과 같다. 모든 회전 행렬은 직교 행렬이다. 이러한 직교 행렬은 다음 성질들을 갖는다. 1. 열 벡터 또는 행 벡터는 모두 단위 길이이다. 2. 열 벡터끼리 또는 행 벡터끼리는 서로 수직 관계를 갖는다. 3. 직교 행렬의 역 행렬은 전치 행렬과 같다. 즉 회전 행렬의 역 변환 행렬은 다음과 같다...

케플러의 법칙은 태양계 행성의 운동을 설명하는 법칙으로서 다음 세 가지가 있다. 1. 모든 행성의 궤도는 태양을 하나의 초점에 두는 타원궤도이다. 2. 태양과 행성을 잇는 직선은 단위시간당 항상 똑같은 넓이를 훑고 지나간다. 3. 행성의 공전주기의 제곱은 궤도 장반경의 세제곱에 비례한다. 케플러의 제1법칙은 행성의 질량이 태양에 비해 대체로 아주 가볍긴 하지만 0이 아니기 때문에 근사적으로 성립하는 법칙이다. 즉 태양의 위치는 정확하게 타원궤도의 초점에 있지는 않다. 두 물체가 서로 잡아당기면서(만유인력의 법칙) 회전하는 경우 회전의 중심은 두 물체의 질량중심이 되며, 각 물체는 이 질량중심을 타원의 한 초점으로 하여 각각 궤도운동을 한다. 지구-태양처럼 한쪽의 질량이 다른 쪽에 비해 엄청나게 크면 질량..

만유는 어디에나 있다는 뜻이니까 보편적(universal)이라는 말과 통하기도 한다. 무엇이 어디에나 있고 무엇이 보편적이라는 걸까? 뉴턴 이전의 아리스토텔레스적인 세계관에 따르면 완벽한 자연의 질서가 적용되는 천상의 세계와 불완전하고 지저분한 것들로 가득 찬 지상의 세계가 분리돼 있었다. 천상의 세계에서는 모든 것이 완벽해서 천체도 둥글고 천체의 운동도 완벽한 원운동을 하며 질서 잡힌 운동을 영원히 계속한다. 반대로 지상의 물체들은 모든 것이 불완전하고 엉망이어서 운동이 계속 되려면 기동자가 끊임없이 작용을 해야만 한다. 아리스토텔레스의 운동관에 처음으로 파열을 낸 사람은 갈릴레오였지만 그것을 완전히 무너뜨린 것은 뉴턴이었다. 사과를 던지면 포물선을 그리며 날아가다가 땅에 떨어진다. 더 큰 속도로 던지..

각속도(Angular Velocity) 회전운동에서 가장 기본적이면서 중요한 개념은 각속도(angular velocity)이다. 각속도는 말 그대로 각도가 시간에 따라 어떻게 변하는가를 나타내는 양이다. 그림에서 보듯이 반지름이 r인 원 위에 물체 P가 있을 때 각도 θ에 대한 호의 길이는 l이며 의 관계가 있다. 양변을 시간에 대해 미분하면 의 관계가 성립함을 알 수 있다. 여기서 v는 선속도, ω는 각속도를 나타낸다. 속도와 각속도의 관계만 유념하면 회전운동에 쉽게 적응할 수 있다. 회전관성(Moment of inertia) 회전운동에서 또 하나 중요한 개념으로 회전관성이라는 물리량이 있다. 회전관성과 회전운동에 대해서 알아보기 위해 다음과 같은 강체가 축을 중심으로 회전하고 있는 상황을 생각해보자...

갈릴레오가 제안한 고전적인 상대성이론은 우주 공간에서의 모든 운동은 상대적이라는 원리를 고전역학적으로 구현한 것이다. 경험적으로 우리는 차를 타고 움직이면서 옆에서 달리는 차를 바라보면 가만히 선채 달리는 차를 볼 때와는 다르다. 이는 우리가 물체를 관측하는 좌표계가 다르기 때문이다. 다음과 같이 점 P를 관측할 때 좌표계 A와 좌표계 B 사이의 차이를 살펴보자. A 좌표계는 편의상 정지한 좌표계, B 좌표계는 A에 대해 등속운동을 하고 있다. 그림에서 보듯이 rA 는 A 좌표계에서 바라본 P의 위치이고 rB 는 B 좌표계에서 바라본 P의 위치이며 rv는 A에서 바라본 B의 위치이다. 이 세 벡터는 다음과 같이 간단한 관계가 성립된다. 이 식의 양변을 시간에 대해 미분하면 를 만족함을 알 수 있다. P는..

아래 그림처럼 3차원 공간의 곡면 영역 D와 경계선 ∂D가 있다고 하자. 스토크스 정리는 어떤 벡터장의 컬에 대한 면적분이, 벡터장을 그 면의 경계선을 따라 선적분한 결과와 같다는 정리이다. 스토크스 정리는 그린 정리와 유사한데, 차이점은 그린 정리는 2차원 영역에 대해서 적용 가능하며 선적분과 이중적분을 연관시키는 반면, 스토크스 정리는 3차원 곡면에 대해서 적용 가능하며 선적분과 면적분을 연관시킨다. 식을 살펴보자. 우변의 curl은 하나의 미분연산자를 가지고 있으며 그것을 2차원 적분한다. 미분 한개와 적분 한개가 서로 생쇄될 것이고 결국 일차원 적분만 남게 된다. 그 결과가 좌변이다. 그린 정리와 마찬가지로 좌변의 선적분은 우변의 면적분이 정의된 영역의 경계선을 따라 돌아가는 선적분과 관계가 있다..

그린 정리는 선적분(1D)과 이중적분(2D) 사이의 관계를 설명했었지만, 발산 정리는 한차원 더 높혀 면적분(2D)과 삼중적분(3D) 사이의 관계를 설명해주는 정리이다. 아래 그림처럼 구 영역 D와 구면 ∂D가 있다고 하자. 발산 정리(Divergence theorem) 또는 가우스 정리(Gauss's theorem)는 어떤 벡터함수의 발산에 대한 부피적분이 그 벡터함수의 면적분과 같다는 관계이다. 수식으로 나타내면 다음과 같다. 좌변을 살펴보면 미분(∇)과 적분이 혼재돼 있다. 따라서 하나의 적분요소는 미분과 상쇄된다. 3차원 적분에서 하나의 적분요소가 빠지면 그것은 2차원 적분이 될 것이다. 그것이 바로 우변이다. 발산 정리 또는 가우스 정리는 물리학에서 특히 그 활용범위가 넓다. 벡터장의 발산은 그..

발산 쉽게 말해 벡터장이 생성 또는 소멸하는 양을 나타낸다. 수학적인 정의는 미분 연산자를 참고하자. 아래 그림에서 왼쪽은 메쉬 위에서 기준점으로부터 다른 정점까지의 최단 측지거리를 색으로 표현한 것이다. 빨간색으로 갈 수록 가까운 곳, 보라색으로 갈 수록 먼 곳이다. 이 스칼라 장(Scalar Field)으로부터 그래디언트 장(Gradient Filed)을 계산하면 오른쪽 그림처럼 된다. 이 벡터 장(Vector Field)으로부터 발산 장(Divergence Field)를 계산해보자. 아래 그림처럼 기준 정점 x와 주변 삼각형이 있고 x에 연결된 한 에지의 방향을 e라고 하자. 양쪽 삼각형에 할당된 벡터는 fα, fβ 이다. 각 벡터와 에지 방향을 내적하고 반대편 각도의 cot값을 곱한 두 값을 평균..