면적분 (Surface Integral)

다중적분에서 면적분은 3차원 공간의 곡면 위에 정의된 함수에 대한 적분이다. 평면 위에 정의된 함수의 이중 적분을 일반화한 개념이다. 면적분은 스칼라 장에서 이루어질 수도, 벡터 장에서 이루어질 수도 있다. 곡면 위에서 면적분을 계산하기 위해서는 곡면의 표현식이 매개곡면 형태로 주어지는 것이 좋다.

 

 

우선 곡면의 매개방정식 함수을 다음과 같이 나타낸다.

 

 

 

 

여기서 D는 2차원 정의역이고

 

 

 

 

이다. 

 

 

스칼라 장의 면적분

 

 

 

곡면 S 위에서 스칼라 함수 f의 적분은 스칼라 함수 f(x, y, z) = 1의 곡면 S 위에서의 적분, 즉 곡면의 넓이를 확장한 개념이다. f(x, y, z)가 S 위에서 연속인 함수라면, S 위에서 f의 면적분은 다음과 같이 정의된다. 

스칼라 장의 면적분 (곡면이 그래프로 주어졌을 때)

 

 

곡면 S가 그래프 형태로 주어졌다고 하보자. z = g(x, y), (x, y) ∈ D의 형태로 주어진 곡면 S의 좌표는 x = u, y = v, g = (u, v)와 같이 매개방정식 형태로 다시 표현할 수 있다. 이 때 (u, v) ∈ D 이다. 그리고 S의 임의의 점에서 u 방향, v 방향 접벡터는 다음과 같다.

 

 

 

 

그리고 다음과 같이 법선 벡터 n과 그 크기는 두 접벡터로부터 계산됨을 알 수 있다.

 

 

 

 

g가 C¹함수이면 매개방정식은 매끄러우며 S 위에서 f의 면적분은 다음과 같이 정의된다.

면적분의 정의를 조금 다르게 표현할 수도 있다. 다음 그림처럼 도메인 D로부터 그래프로 표현된 곡면 S에서 어떤 작은 영역의 법선 벡터와 k 벡터의 사잇각을 θ라고 하자. 

 

 

 

 

이 경우 cosθ는 다음과 같다.

 

 

 

 

따라서 S 위에서 f의 면적분식은 다음과 같이 쓸 수도 있다.

벡터 장의 면적분 

 

 

 

곡면 S 위에서 벡터장 F를 면적분하는 것은 곡면 위에서 벡터가 한 일을 적분한다는 뜻이다. F(x, y, z)가 S 위에서 연속인 벡터 함수라면, S 위에서 F의 면적분은 다음과 같이 정의된다. 

F가 위치벡터라면 면적분의 결과값은 -(곡면의 넓이) 이다.

 

 

벡터 장의 면적분 (곡면이 그래프로 주어졌을 때)

 

 

곡면 S가 위에서 설명한 것처럼  z = g(x, y), (x, y) ∈ D의 그래프 형태로 주어졌다고 하보자. F가 연속 벡터장이면 S 위에서 F의 면적분은 다음과 같이 정의된다.