스토크스 정리(Stokes Theorem)

아래 그림처럼 3차원 공간의 곡면 영역 D와 경계선 ∂D가 있다고 하자.

 

 

 

 

 

스토크스 정리는 어떤 벡터장의 컬에 대한 면적분이, 벡터장을 그 면의 경계선을 따라 선적분한 결과와 같다는 정리이다. 

스토크스 정리는 그린 정리와 유사한데, 차이점은 그린 정리는 2차원 영역에 대해서 적용 가능하며 선적분과 이중적분을 연관시키는 반면, 스토크스 정리는 3차원 곡면에 대해서 적용 가능하며 선적분과 면적분을 연관시킨다.

 

 

식을 살펴보자. 우변의 curl은 하나의 미분연산자를 가지고 있으며 그것을 2차원 적분한다. 미분 한개와 적분 한개가 서로 생쇄될 것이고 결국 일차원 적분만 남게 된다. 그 결과가 좌변이다. 그린 정리와 마찬가지로 좌변의 선적분은 우변의 면적분이 정의된 영역의 경계선을 따라 돌아가는 선적분과 관계가 있다. 

 

 

스토크스 정리도 물리학 특히 전자기학에서 자주 쓰인다. 예를 들면 도선에 전류가 흐를 때 그 주변에 자기장이 전류를 휘감는 방향으로 형성된다.

 

 

 

 

이 경우 도선 주변의 자기장의 curl은 0이 아닌 값을 가진다. 실제로 단위면적당 전류를 J,  자기장을 H라고 하면

 

 

 

 

의 관계가 있다. 여기에 스토크스 정리를 적용하면 도선 주변의 자기장의 세기 H를 쉽게 구할 수 있다. 전류의 세기 I는 단위면적당 전류를 적분한 식으로 나타낼 수 있으며 이 식에 스토크스 정리를 적용하면 H는 다음과 같다.