오다기리 박의 알고리즘 노트

측량텐서에 대해 알아보기 위해 델(del), 반변벡터, 공변벡터에 대해 먼저 알아보자. 미분연산자인 델 연산자는 다음과 같이 정의된다. 그리고 델의 각 성분을 다음과 같이 표기해보자. 이 때 델의 성분들 각각은 벡터의 기저(basis) 역할을 수행할 수 있다. 즉 다음 식이 성립한다. 미분은 곡선의 접선이다. 이 개념을 확장하면 델의 각 성분은 임의의 곡면에서 각 축의 방향으로 접선을 그은 벡터성분에 해당한다. 어떤 좌표계의 기저는 우리가 임의로 잡을 수 있는데, 위 식을 기저로 잡으면 곡면에서의 임의의 좌표계 (x, y, z)를 표현하기 쉽다. 다음 계산을 보자. 델의 각 성분과 벡터(x, y, z)의 각 성분이 축약되어 불변인 양이 만들어진다. 따라서 ∇a는 첨자가 아래에 붙은 공변벡터(covaria..

3차원 공간벡터는 3개의 성분을 가지며, x, y, z 성분을 가진다. 4벡터 즉, 4차원 벡터는 4개의 성분을 가지며 3개의 공간성분(x, y, z)에 시간성분(t)이 하나 더 들어가 있다. 시간 성분이 새롭게 들어가는 이유는 상대성이론이 시간과 공간을 하나로 엮었기 때문이다. 상대성이론에서 시간과 공간이 하나로 엮여 시공간(spacetime)이 된 것은 광속 때문이다. 아인슈타인은 특수상대성이론을 만들면서 모든 관성좌표계에서 광속이 항상 일정하다는 '광속불변'을 자기 이론의 첫 번째 전제조건으로 내세웠다. 광속도 속력의 일종이므로 시간과 공간의 변수들로 정의되는 양이다. 그런데 이 값이 임의의 관성좌표계(서로 등속운동을 하는 좌표계)에서 항상 똑같은 값을 가지려면 시간과 공간이 특별하게 얽힐 수 밖에..

케플러의 법칙은 태양계 행성의 운동을 설명하는 법칙으로서 다음 세 가지가 있다. 1. 모든 행성의 궤도는 태양을 하나의 초점에 두는 타원궤도이다. 2. 태양과 행성을 잇는 직선은 단위시간당 항상 똑같은 넓이를 훑고 지나간다. 3. 행성의 공전주기의 제곱은 궤도 장반경의 세제곱에 비례한다. 케플러의 제1법칙은 행성의 질량이 태양에 비해 대체로 아주 가볍긴 하지만 0이 아니기 때문에 근사적으로 성립하는 법칙이다. 즉 태양의 위치는 정확하게 타원궤도의 초점에 있지는 않다. 두 물체가 서로 잡아당기면서(만유인력의 법칙) 회전하는 경우 회전의 중심은 두 물체의 질량중심이 되며, 각 물체는 이 질량중심을 타원의 한 초점으로 하여 각각 궤도운동을 한다. 지구-태양처럼 한쪽의 질량이 다른 쪽에 비해 엄청나게 크면 질량..

만유는 어디에나 있다는 뜻이니까 보편적(universal)이라는 말과 통하기도 한다. 무엇이 어디에나 있고 무엇이 보편적이라는 걸까? 뉴턴 이전의 아리스토텔레스적인 세계관에 따르면 완벽한 자연의 질서가 적용되는 천상의 세계와 불완전하고 지저분한 것들로 가득 찬 지상의 세계가 분리돼 있었다. 천상의 세계에서는 모든 것이 완벽해서 천체도 둥글고 천체의 운동도 완벽한 원운동을 하며 질서 잡힌 운동을 영원히 계속한다. 반대로 지상의 물체들은 모든 것이 불완전하고 엉망이어서 운동이 계속 되려면 기동자가 끊임없이 작용을 해야만 한다. 아리스토텔레스의 운동관에 처음으로 파열을 낸 사람은 갈릴레오였지만 그것을 완전히 무너뜨린 것은 뉴턴이었다. 사과를 던지면 포물선을 그리며 날아가다가 땅에 떨어진다. 더 큰 속도로 던지..

각속도(Angular Velocity) 회전운동에서 가장 기본적이면서 중요한 개념은 각속도(angular velocity)이다. 각속도는 말 그대로 각도가 시간에 따라 어떻게 변하는가를 나타내는 양이다. 그림에서 보듯이 반지름이 r인 원 위에 물체 P가 있을 때 각도 θ에 대한 호의 길이는 l이며 의 관계가 있다. 양변을 시간에 대해 미분하면 의 관계가 성립함을 알 수 있다. 여기서 v는 선속도, ω는 각속도를 나타낸다. 속도와 각속도의 관계만 유념하면 회전운동에 쉽게 적응할 수 있다. 회전관성(Moment of inertia) 회전운동에서 또 하나 중요한 개념으로 회전관성이라는 물리량이 있다. 회전관성과 회전운동에 대해서 알아보기 위해 다음과 같은 강체가 축을 중심으로 회전하고 있는 상황을 생각해보자...

갈릴레오가 제안한 고전적인 상대성이론은 우주 공간에서의 모든 운동은 상대적이라는 원리를 고전역학적으로 구현한 것이다. 경험적으로 우리는 차를 타고 움직이면서 옆에서 달리는 차를 바라보면 가만히 선채 달리는 차를 볼 때와는 다르다. 이는 우리가 물체를 관측하는 좌표계가 다르기 때문이다. 다음과 같이 점 P를 관측할 때 좌표계 A와 좌표계 B 사이의 차이를 살펴보자. A 좌표계는 편의상 정지한 좌표계, B 좌표계는 A에 대해 등속운동을 하고 있다. 그림에서 보듯이 rA 는 A 좌표계에서 바라본 P의 위치이고 rB 는 B 좌표계에서 바라본 P의 위치이며 rv는 A에서 바라본 B의 위치이다. 이 세 벡터는 다음과 같이 간단한 관계가 성립된다. 이 식의 양변을 시간에 대해 미분하면 를 만족함을 알 수 있다. P는..