오다기리 박의 알고리즘 노트

다중적분에서 면적분은 3차원 공간의 곡면 위에 정의된 함수에 대한 적분이다. 평면 위에 정의된 함수의 이중 적분을 일반화한 개념이다. 면적분은 스칼라 장에서 이루어질 수도, 벡터 장에서 이루어질 수도 있다. 곡면 위에서 면적분을 계산하기 위해서는 곡면의 표현식이 매개곡면 형태로 주어지는 것이 좋다. 우선 곡면의 매개방정식 함수을 다음과 같이 나타낸다. 여기서 D는 2차원 정의역이고 이다. 스칼라 장의 면적분 곡면 S 위에서 스칼라 함수 f의 적분은 스칼라 함수 f(x, y, z) = 1의 곡면 S 위에서의 적분, 즉 곡면의 넓이를 확장한 개념이다. f(x, y, z)가 S 위에서 연속인 함수라면, S 위에서 f의 면적분은 다음과 같이 정의된다. 스칼라 장의 면적분 (곡면이 그래프로 주어졌을 때) 곡면 S..

3차원상의 곡면을 매개방정식으로 나타내보자. 곡면은 3개의 성분 x, y, z으로 표현되며 각 성분은 2개의 매개변수 u, v에 대한 식으로 이루어져 있다. 곡면의 매개방정식은 함수 로 나타낸다. D는 2차원에 들어있는 정의역이다. 그러니까 2차원의 두 매개변수가 함수 φ를 통해서 3차원 공간의 곡면으로 변한다는 뜻이다. 이렇게 만들어진 곡면을 다음과 같이 표기한다. 만약 φ가 미분 가능하거나 C1 함수이면 S를 '미분가능한 곡면' 또는 'C1 곡면'이라고 한다. 접벡터 매개곡면 S가 (u0, v0) 에서 미분 가능할 때 이 점에서 곡면의 접벡터를 계산해보자. 곡면 위의 한 점에서 접평면을 정의하기 위해서는 접벡터를 알아야 하기 때문에 접벡터 먼저 짚고 넘어가도록 하자. 접벡터를 계산하기 위해서는 접벡터..

3차원 공간 속의 곡선을 따라가면서 수행하는 선적분에 대해 알아보자. 수학적으로 곡선이라 함은 하나의 변수로 표현할 수 있는 도형이다. 그 하나의 변수가 선적분의 적분변수에 해당한다. 고등학교 과정에서 배운 y = f(x)를 적분하는 것도 물론 선적분이다. 이 때의 곡선은 x축 변수에 따라 표현된다. 선적분은 직선 위의 정적분을 곡선 위의 적분까지 일반화한 개념이다. 스칼라 장에서 이루어질 수도, 벡터 장에서 이루어질 수도 있다. 스칼라 장의 선적분은 밀도 분포가 주어진 끈의 질량을 구하는 문제로 생각할 수 있으며, 벡터 장의 선적분은 어떤 역장이 주어진 경로를 따라 운동하는 물체에 한 일을 구하는 문제로 생각할 수 있다. 스칼라 장과 벡터 장의 선적분의 정의는 서로 전환 가능하다. 즉, 벡터 장의 선적..

3차원 공간에서의 몇 가지 미분 연산자에 대해 알아보자. 델(del)이라고 불리는 역삼각형의 기호(∇)이다. 델은 고등학교 수학과 대학 수학을 가르는 중요한 기준 중에 하나다. 델과 관련해서 꼭 알아야 할 두 가지 중요한 포인트가 있다. 하나는 델이 미분을 위한 연산자라는 점이고 다른 하나는 델이 벡터처럼 동작한다는 점이다. 실제로 델은 다음과 같이 정의된다. 델의 몇 가지 기본적인 연산들을 살펴보자. 1. 그래디언트(Gradient) 델이 어떤 스칼라 함수 f (x, y, z)에 적용되어 벡터를 결과로 얻는 경우이다. 벡터니까 방향이 있다. 그리고 델은 기본적으로 미분, 즉 변화량을 뜻한다. 결과적으로 그래디언트는 스칼라 함수가 최대로 변하는 방향을 나타낸다. 가장 대표적인 예로 이변수함수인 f (x,..

Hermite Spline 또는 Hermite Interpolation Curve는 곡선을 여러개 이어붙여 만든 스플라인을 말한다. 여기서는 일반적으로 많이 사용되는 방식에 대해 알아볼건데, 각 구간이 3차 베지에 곡선으로 구성되는 허밋 스플라인에 대한 내용이다. 스플라인의 어떤 한 구간에서 베지에 곡선 C(t)를 정의하기 위해서는 양 끝의 두 점 p0, p1과 접벡터(tangent vector) v0, v1가 필요하다. 그래야 스플라인의 각 보간점(Interpolation Point)에서 곡선이 기울기를 유지하며 부드럽게 이어질 수 있다. 여기서 각 곡선의 파라미터 범위는 [0, 1] 이다. 이렇게 주어진 양끝의 보간점과 접벡터로 식 C(t)를 어떻게 세울까? 3차 베지에 곡선 식을 세워야 하기 때문에..

3차원 공간을 나타내기 위해 사용하는 몇 가지 좌표계에 대해서 알아보려고 한다. 우리에게 가장 익숙한 직교 좌표계는 직각으로 만나는 축들을 이용하여 위치를 표현한다. 다중적분을 이용하여 3차원 부피를 적분할 때 적분 요소는 dxdydz이다. 이것은 3차원 공간에서 x, y, z가 극소량으로 변화할 수 있는 범위를 표현한 것으로, 세 변이 각각 dx, dy, dz인 정육면체의 부피라고 할 수 있다. 따라서 dxdydz는 극소한 부피요소, 즉 dV라고 할 수 있다. 직교좌표계에서 공간 속의 한 점 P(x, y, z)를 각 축 방향으로 조금씩 변화시켜서 얻은 점을 Q라 하면 Q는 Q(x+dx, y+dy, z+dz)가 된다. 이 두 점 사이의 거리 ds는 피타고라스 정리에 의해 ds2 = dx2 + dy2 + ..

자코비안은 카를 구스타프 야코프 야코비가 고안한 좌표계 변환법으로써 다중적분(면적을 구하는 이중적분 또는 부피를 구하는 삼중적분)을 할 때, 미분소 dA(면적요소), dV(부피요소) 등을 같은 차원의 좌표계로 변환하는 데에 쓰는 행렬식을 말한다. 간단하게 2차원 면적분을 생각해보자. 보통의 직교좌표계에서는 평면 위의 한 점의 위치를 x축과 y축을 따라 정한다. 하지만 평면 위의 점을 꼭 이렇게만 정할 필요는 없다. 극좌표(polar coordinate) 방식에서는 원점에서의 거리와 x축으로부터의 각도로 한 점을 정할 수 있다. 직교좌표계에서 (x, y)로 정해지던 점은 극좌표계에서는 원점에서의 거리 r과 x축에서 잰 각도 θ로 정해진다. 그렇다면 직교좌표계의 면적분요소인 dxdy는 극좌표계에서 drdθ로..

a벡터를 평면에 사영(projection)시킨 c벡터를 구해보자. 여기서 평면은 n벡터를 법선으로 가진다. 계산 과정은 간단하다. 지난번 포스팅 벡터를 벡터에 사영하는 방법을 이용해서 a를 법선 n에 사영시켜서 b를 구하면 a - b가 바로 결과 c이다.