허밋 스플라인 (Hermite Spline)

PowerPoint에서 그린 보간곡선

 

 

Hermite Spline 또는 Hermite Interpolation Curve는 곡선을 여러개 이어붙여 만든 스플라인을 말한다. 여기서는 일반적으로 많이 사용되는 방식에 대해 알아볼건데, 각 구간이 3차 베지에 곡선으로 구성되는 허밋 스플라인에 대한 내용이다.

 

 

스플라인의 어떤 한 구간에서 베지에 곡선 C(t)를 정의하기 위해서는 양 끝의 두 점 p₀, p₁과 접벡터(tangent vector) v₀, v₁가 필요하다. 그래야 스플라인의 각 보간점(Interpolation Point)에서 곡선이 기울기를 유지하며 부드럽게 이어질 수 있다. 여기서 각 곡선의 파라미터 범위는 [0, 1] 이다.

 

 

 

 

이렇게 주어진 양끝의 보간점과 접벡터로 식 C(t)를 어떻게 세울까? 3차 베지에 곡선 식을 세워야 하기 때문에 4개의 제어점(control point)을 b₀, b₁, b₂, b₃라고 한다면 얘네들을 4개의 번스타인 기저(Bernstein basis)와 선형 결합해야 한다.

 

 

베지에 곡선의 주요 성질 중 하나가 양 끝점에서의 접벡터는 인접한 두 제어점의 차이벡터의 3배와 같다는 것이다.(베지에 곡선 다항식을 미분하여 t = 0과 t = 1을 대입해보면 자연스럽게 유도된다.) 다시 말해서 v₀ = 3(b₁ - b₀)이고 v₁ = 3(b₃ - b₂)이다.

b₀, b₃은 두 보간점 p₀, p₁과 위치가 같다는 사실과 접벡터 공식을 이용하면 제어점의 위치를 모두 알아낼 수 있다.

 

 

 

 

결론적으로, 허밋 스플라인에서 한 구간의 양 끝점이 p₀, p₁이고 접벡터가 v₀, v₁으로 주어진 경우 베지에 곡선 C(t)는 다음과 같이 계산된다.

 

 

 

 

이렇게 보간점 한 쌍을 지나는 베지에 곡선을 만들 수 있으면 여러개의 보간점을 지나는 허밋 스플라인은 베지에 곡선을 이어붙여서 생성하면 된다. 각 보간점에서의 접벡터는 양 옆에 있는 보간점의 차이벡터로 계산할 수도 있고 사용자에 따라 임의로 조절할 수도 있다.