자코비안(Jacobian)

자코비안은 카를 구스타프 야코프 야코비가 고안한 좌표계 변환법으로써 다중적분(면적을 구하는 이중적분 또는 부피를 구하는 삼중적분)을 할 때, 미분소 dA(면적요소), dV(부피요소) 등을 같은 차원의 좌표계로 변환하는 데에 쓰는 행렬식을 말한다.

 

 

간단하게 2차원 면적분을 생각해보자. 보통의 직교좌표계에서는 평면 위의 한 점의 위치를 x축과 y축을 따라 정한다. 하지만 평면 위의 점을 꼭 이렇게만 정할 필요는 없다. 극좌표(polar coordinate) 방식에서는 원점에서의 거리와 x축으로부터의 각도로 한 점을 정할 수 있다.

 

 

 

 

직교좌표계에서 (x, y)로 정해지던 점은 극좌표계에서는 원점에서의 거리 r과 x축에서 잰 각도 θ로 정해진다. 그렇다면 직교좌표계의 면적분요소인 dxdy는 극좌표계에서 drdθ로 바뀌는 것일까?

 

 

간단하게 먼저 점검해볼 사항은 변수들의 차원이다. 좌표평면을 실제의 길이 단위로 정의된 평면이라고 생각하면 x와 dx, y와 dy는 모두 길이를 나타낸다. 따라서 dxdy는 길이의 제곱을 표현하기 때문에 평면 상의 면적요소로서 자격을 갖춘 셈이다. 하지만 극좌표에서는 상황이 다르다. r은 길이의 차원을 갖고 있지만 각도 θ는 호의 길이를 반지름으로 나눈 호도법으로 나타낸 양이기 때문에 차원이 없다. 결과적으로 drdθ 는 길이의 차원만 가지고 있을 뿐 dxdy와 같은 면적요소라고 할 수 없다.

면적요소가 똑같은 크기의 면적요소로 변환이 되어야만 올바른 결과를 기대할 수 있다. 이 때의 적절한 변환인자가 바로 자코비안이다. 각 좌표계에서의 면적요소는 직관적으로 다음 그림과 같이 계산된다. 극좌표계에서의 면적요소는 한 변이 dr이고 다른 한 변은 호의 길이로 계산되므로 r(dθ)이다. 

 

 

 

 

그러니까 극좌표에서의 올바른 면적요소는 rdrdθ이다. 이 요소는 정확하게 길이의 제곱 즉 넓이의 차원을 갖고 있으며 drdθ와 비교했을 때 r이 하나 더 들어가 있다. 이 r값이 바로 직교좌표계와 극좌표계를 이어주는 자코비안이다. 정확한 관계식은 다음과 같으며 여기서 행렬식 det의 절댓값이 자코비안이다.

 

 

 

 

일반적으로 (y₁, y₂, ..., y_n)의 좌표계를 (x₁, x₂, ..., x_n)의 좌표계로 바꾸는 자코비안은 다음과 같다.

 

 

 

 

이런 식으로 좌표계를 바꾸어서 적분하면 상황에 맞게 계산을 편리하게 수행할 수 있다.

 

 

예를 들어, 극좌표계에서는 원형 대칭성이 있는 상황에 적용하기에 알맞다. 가장 간단한 예로 극좌표계의 면적 요소를 그대로 적분하면, 당연하게도 원의 넓이가 나온다.

 

 

 

 

[참고] 이종필. 『이종필의 아주 특별한 상대성이론 강의』. 동아시아, 2015.