특수상대성 이론

갈릴레오가 제안한 고전적인 상대성이론은 우주 공간에서의 모든 운동은 상대적이라는 원리를 고전역학적으로 구현한 것이다. 경험적으로 우리는 차를 타고 움직이면서 옆에서 달리는 차를 바라보면 가만히 선채 달리는 차를 볼 때와는 다르다. 이는 우리가  물체를 관측하는 좌표계가 다르기 때문이다.

 

 

다음과 같이 점 P를 관측할 때 좌표계 A와 좌표계 B 사이의 차이를 살펴보자. A 좌표계는 편의상 정지한 좌표계, B 좌표계는 A에 대해 등속운동을 하고 있다. 

 

 

 

 

그림에서 보듯이  r_A 는 A 좌표계에서 바라본 P의 위치이고  r_B 는 B 좌표계에서 바라본 P의 위치이며 r_v는 A에서 바라본 B의 위치이다. 이 세 벡터는 다음과 같이 간단한 관계가 성립된다.

 

 

 

 

이 식의 양변을 시간에 대해 미분하면

 

 

 

 

를 만족함을 알 수 있다. P는 움직이는 자동차, 좌표계 A는 정지해 있는 지면, 좌표계 B는 움직이는 지하철이라고 생각할 수 있다. 이 관계식은 갈릴레오의 상대론을 표현한다.

 

 

아인슈타인의 상대성이론은 위 식과 다르다. 편의상 일차원 운동만 생각해보자. 아인슈타인이 10대 때 고민했던 문제는 이런 것이다. 만약 빛의 속도로 운동하면서 빛을 바라본다면 그 빛은 어떻게 보일까? 갈릴레오의 상대론 관점에 보면 빛의 상대적인 속도는 0이 된다. 하지만 이는 맥스웰 방정식의 결과와 배치된다. 빛은 좌표계를 바꾸더라도 항상 c의 속도이어야만 하기 때문이다. 아인슈타인은 이것을 좌표변환에 대한 새로운 가정으로 도입하여 자신의 상대성이론을 구축하였다. 

 

 

그 결과만 써보면, 특수상대성이론에서 서로 다른 좌표계들 사이의 속도의 관계는 다음과 같다. 

 

 

 

아인슈타인이 고민했던 상황은 v_A가 광속 c가 되는 상황이므로

 

 

 

 

빛의 상대적인 속도 역시 c가 된다. 이 결과를 보면 빛은 어느 좌표계에서나 V에 상관없이 (관찰자가 얼마나 빠르게 달리든) 항상 c의 값임을 알 수 있다.

 

 

 

 

[참고] 이종필. 『이종필의 아주 특별한 상대성이론 강의』. 동아시아, 2015.