케플러의 행성 운동 법칙(Kepler's laws of planetary motion)

케플러의 법칙은 태양계 행성의 운동을 설명하는 법칙으로서 다음 세 가지가 있다.

 

 

1. 모든 행성의 궤도는 태양을 하나의 초점에 두는 타원궤도이다.

2. 태양과 행성을 잇는 직선은 단위시간당 항상 똑같은 넓이를 훑고 지나간다.

3. 행성의 공전주기의 제곱은 궤도 장반경의 세제곱에 비례한다.

 

 

케플러의 제1법칙은 행성의 질량이 태양에 비해 대체로 아주 가볍긴 하지만 0이 아니기 때문에 근사적으로 성립하는 법칙이다. 즉 태양의 위치는 정확하게 타원궤도의 초점에 있지는 않다. 두 물체가 서로 잡아당기면서(만유인력의 법칙) 회전하는 경우 회전의 중심은 두 물체의 질량중심이 되며, 각 물체는 이 질량중심을 타원의 한 초점으로 하여 각각 궤도운동을 한다. 지구-태양처럼 한쪽의 질량이 다른 쪽에 비해 엄청나게 크면 질량중심은 질량이 큰 물체(태양)의 내부 깊숙한 곳에 있게 되어 태양의 질량중심이 태양-지구의 질량중심(이 지점이 타원궤도의 초점이다)에 아주 근접해진다.

 

 

 

 

케플러의 제2법칙은 행성의 궤도운동이 일정하지 않다는 점을 말하는데, 이는 타원궤도를 알기 전부터 알려진  사실이다. 행성이 원운동을 하면 행성과 태양과의 거리는 언제나 일정하다. 그러나 타원궤도이면 행성과 태양의 거리는 수시로 변한다. 행성이 태양에 가장 근접할 때는 근일점, 가장 멀어질 때는 원일점이라고 한다. 근일점에서는 속도가 빨라지고 원일점에서는 느려진다. 케플러가 화성의 공전궤도를 타원이라 생각한 계기 중 하나도 바로 이 성질이었다. 여기서 행성이 빨라지고 느려지는 정도는 단위 시간당 행성이 궤도상을 훑고 지나가는 부채꼴의 넓이가 항상 일정하도록 유지된다. 그래서 제 2법칙은 '면적속도 일정의 법칙'이라고도 한다. 행성의 면적속도가 항상 일정한 것은 행성의 각운동량이 늘 보존되기 때문이다. 

 

 

 

 

위 그림처럼 행성이 θ만큼 회전했을 때 행성이 훑고 지나간 부채꼴 모양의 도형의 넓이는 다음 삼각형 계산식과 같다.

 

 

 

 

양변을 dt로 미분하면 다음이 성립한다.

 

 

 

 

여기서 ω는 각속도를 나타내고 행성의 회전관성 I = mr²이므로 다음을 만족한다.

 

 

 

 

여기서 L = Iω는 행성의 각운동량이다. 외부의 돌림힘이 없으면 각운동량은 보존된다. 즉 항상 일정한 값을 가진다. 따라서 위 식의 우변은 시간에 대해 항상 상수이며 그 결과 좌변 또한 상수다. 좌변은 말 그대로 행성이 훑고 지나가는 넓이의 시간에 대한 변화, 즉 면적속도가 된다. 따라서 케플러의 제2법칙인 면적속도 일정의 법칙은 행성의 각운동량 보존과 다름이 없다.

 

 

케플러의 제3법칙은 행성의 공전주기와 장반경 사이에 특별한 관계가 있음을 나타낸다. 공전주기는 궤도의 장반경이 클 수록 커지는데, 그 정도는 공전주기의 제곱이 장반경의 세제곱에 비례한다. 제3법칙을 식으로 표현하면 다음과 같다.

 

 

 

 

여기서 T는 행성의 공전주기, a는 타원궤도의 장반경이고 k는 비례상수이다.

 

 

 

 

 

[참고] 이종필. 『이종필의 아주 특별한 상대성이론 강의』. 동아시아, 2015.