측량텐서

측량텐서에 대해 알아보기 위해 델(del), 반변벡터, 공변벡터에 대해 먼저 알아보자.

 

 

미분연산자인 델 연산자는 다음과  같이 정의된다. 

 

 

 

 

그리고 델의 각 성분을 다음과 같이 표기해보자.

 

 

 

 

 

이 때 델의 성분들 각각은 벡터의 기저(basis) 역할을 수행할 수 있다. 즉 다음 식이 성립한다.

 

 

 

 

미분은 곡선의 접선이다. 이 개념을 확장하면 델의 각 성분은 임의의 곡면에서 각 축의 방향으로 접선을 그은 벡터성분에 해당한다. 어떤 좌표계의 기저는 우리가 임의로 잡을 수 있는데, 위 식을 기저로 잡으면 곡면에서의 임의의 좌표계 (x, y, z)를 표현하기 쉽다. 

 

 

다음 계산을 보자.

 

 

 

 

델의 각 성분과 벡터(x, y, z)의 각 성분이 축약되어 불변인 양이 만들어진다. 따라서 ∇_a는 첨자가 아래에 붙은 공변벡터(covariant vector), x^a는 첨자가 위에 붙은 반변벡터(contravariant vector)이다. 즉 델의 아래첨자는 편미분의 미분변수(x)의 위첨자에 해당한다.

 

 

만약에 우리가 좌표계를 (x, y, z)d에서 (x', y', z')으로 바꾸었을 때 델 연산자는 어떻게 바뀌는지 살펴보자. 고등학교 때 배운 합성함수의 미분법을 적용하면 아래와 같이 된다.

 

 

 

 

여기서 반복되는 첨자인 b에 대해서는 더하기가 수행되었다. 위 식은 4벡터로도 바로 확장된다. 즉 아래와 같이 되어 일반적인 4벡터와는 공간성분의 부호가 반대가 된다.

 

 

 

 

이제 좌표계 변환시 델 연산자에 대한 식을 4벡터로 확장하면 다음을 얻을 수 있다.

 

 

 

 

여기서 β = 0, 1, 2, 3에 대해서 더하기가 수행되었다. 위 식은 말하자면 기저벡터가 좌표변환에 대해 변환하는 방식을 표현한 식이다. 이 식과 같이 변환하는 방식을 공변(covariant)이라고 한다. 여기서 공변, 즉 함께 변한다는 의미는 기저벡터인 ∂/∂x^μ가 좌표변환에 대해서 변하는 것과 똑같은 방식이라는 의미이다.

 

 

실제로  첨자가 위에 붙은 4벡터의 변환식은 아래와 같이 쓸 수 있다.

 

 

 

 

위 식의 마지막 표현을 보면 

라고 정의하는 것이 매우 자연스러우며 또 그래야 한다.