다중적분

미적분학에서 다중적분에 대해서 알아보자.

 

고등학교 때 배운 일변수함수의 적분은 적분변수(대개 x로 표현된다)가 하나이므로 이때의 적분은 적분변수가 x축을 따라 움직이면서 f(x)를 연속적으로 더해 나가는 과정이라고 할 수 있다. 이런 경우 선적분이라 하며 1차원 적분의 한 예가 된다.

 

 

일변수함수의 적분

 

 

이변수함수 z = f(x,y)를 생각해보자. 이 때의 적분은 밑넓이가 dxdy이고 높이가 f(x,y)인 사각기둥을 연속적으로 더해 나가는 과정이라고 할 수 있다. 이런 경우 면적분이라고 하며 이중적분의 한 예가 된다.

 

 

이변수함수의 적분

 

 

면적분의 개념을 다시 한 번 확장하여 삼변수함수를 적분하면 공간적분이라 하며 삼중적분의 한 예가 된다.

 

 

2차원 면적분에서의 적분요소는 dxdy이다. 이것은 xy평면 위에서 x와 y가 극소량으로 변화할 수 있는 범위를 표현한 것으로, 가로가 dx, 세로가 dy인 직사각형의 넓이라고 할 수 있다. 따라서 dxdy는 극소한 넓이요소, 즉 dA라고 할 수 있다.

마찬가지로 3차원 공간적분에서의 적분요소는 dxdydz로 주어지며 극소량이 부피요소 dV이다.

 

 

상대성이론에서는 시간이 공간과 똑같은 자격을 가지며 4차원의 시공간을 만든다. 그래서 이 경우에는 시간좌표까지 포함하는 4차원 시공간적분을 주로 한다. 이 때 적분요소는 그냥 d⁴x=dtdxdydz 와 같이 간단하게 표현한다. 

 

[참고] 이종필. 『이종필의 아주 특별한 상대성이론 강의』. 동아시아, 2015.