미분연산자: 그래디언트(Gradient), 발산(Divergence), 컬(Curl), 라플라시안(Laplacian)

3차원 공간에서의 몇 가지 미분 연산자에 대해 알아보자. 델(del)이라고 불리는 역삼각형의 기호(∇)이다. 델은 고등학교 수학과 대학 수학을 가르는 중요한 기준 중에 하나다. 델과 관련해서 꼭 알아야 할 두 가지 중요한 포인트가 있다. 하나는 델이 미분을 위한 연산자라는 점이고 다른 하나는 델이 벡터처럼 동작한다는 점이다.

 

 

실제로 델은 다음과 같이 정의된다.

 

 

 

 

델의 몇 가지 기본적인 연산들을 살펴보자.

 

 

1. 그래디언트(Gradient)

델이 어떤 스칼라 함수 f (x, y, z)에 적용되어 벡터를 결과로 얻는 경우이다.

 

 

 

 

벡터니까 방향이 있다. 그리고 델은 기본적으로 미분, 즉 변화량을 뜻한다. 결과적으로 그래디언트는 스칼라 함수가 최대로 변하는 방향을 나타낸다. 가장 대표적인 예로 이변수함수인 f (x, y)가 산의 등고선인 경우를 생각해보자. 이 때 ∇f  는 산의 가장 가파른 방향을 나타낸다. 가장 가파른 방향이란 등고선에 수직인 방향이다.

 

 

 

 

2. 발산(Divergence)

델도 일종의 벡터이므로 델을 이용해서도 내적과 외적을 정의할 수 있다. 발산은 델이 적용되는 함수가 벡터함수이어야 한다. 즉, 어떤 벡터함수 F = (F_x, F_y, F_z)와 내적하여 스칼라를 결과로 얻는 경우이다.

 

 

 

 

발산의 직관적인 의미는 무언가가 공간 속에서 없던 것이 샘솟아 나오는 원천을 뜻한다. 만약 어떤 공간 속에서 발산이 0이 아니라면, 그 공간 속에는 뭔가 벡터장 F 를 뱉어내는 원천이 있다는 말이다. 원천이 있다는 것은 말하자면 물이 계속 솟아나는 샘이 있다는 뜻이다. 반면 흘러가는 강물 속에서 적당한 공간을 잡으면 한쪽에서 흘러 들어온 강물이 다른 쪽으로 모두 빠져나가므로 이런 경우에는 발산이 0이다. 

 

 

 

 

3. 컬(Curl)

컬은 어떤 벡터함수 F = (F_x, F_y, F_z) 와 외적 하여 벡터를 결과로 얻는 경우이다.

 

 

 

 

컬은 벡터장이 뭔가 회전하고 있다는 뜻이다. 컬은 그 결과가 벡터로서 방향이 있다. 그 방향이 일정하게 회전하는 패턴을 보이면 컬은 0이 아니다. 반면 발산의 그림처럼 방사상으로 뻗어나가거나 한쪽 방향으로 일정하게 흐르는 벡터에 대한 컬은 0이다. 따라서 그래디언트의 컬은 0이고 컬의 발산도 0 임을 직관적으로 알 수 있다.

 

 

 

 

4. 라플라시안( Laplacian)

델의 중요한 쓰임새로 라플라시안이 있다. 그래디언트, 발산, 컬은 모두 함수에 대한 일차 미분인 반면 라플라시안은 이차 미분으로 다음과 같이 정의된다.

 

 

 

이것은 벡터나 스칼라 함수에 모두 적용할 수 있다. 스칼라 함수에 대해서는

 

 

 

 

즉 그래디언트의 발산으로 이해할 수 있다. 라플라시안은 고전역학, 일반상대성이론, 양자역학의 슈뢰딩거 방정식에도 자주 등장한다. 라플라시안은 대체로 에너지와 관련이 있는 양을 표현하는 경우가 많다. 

 

 

 

 

 

[참고] 이종필. 『이종필의 아주 특별한 상대성이론 강의』. 동아시아, 2015.