발산 정리(Divergence theorem) 또는 가우스 정리(Gauss's theorem)

그린 정리는 선적분(1D)과 이중적분(2D) 사이의 관계를 설명했었지만, 발산 정리는 한차원 더 높혀 면적분(2D)과 삼중적분(3D) 사이의 관계를 설명해주는 정리이다.

 

 

아래 그림처럼 구 영역 D와 구면 ∂D가 있다고  하자. 

 

 

 

 

 

발산 정리(Divergence theorem) 또는 가우스 정리(Gauss's theorem)는 어떤 벡터함수의 발산에 대한 부피적분이 그 벡터함수의 면적분과 같다는 관계이다. 수식으로 나타내면 다음과 같다.

좌변을 살펴보면 미분(∇)과 적분이 혼재돼 있다. 따라서 하나의 적분요소는 미분과 상쇄된다. 3차원 적분에서 하나의 적분요소가 빠지면 그것은 2차원 적분이 될 것이다. 그것이 바로 우변이다.

 

 

발산 정리 또는 가우스 정리는 물리학에서 특히 그 활용범위가 넓다. 벡터장의 발산은 그 벡터장의 샘(source)의 밀도라고 할 수 있다. 위 식의 좌변은 전기장에 대해서 말하자면 전하량이 되고 중력장에 대해서는 질량이 된다.

 

 

예를 들어 공간 속에 하나의 전기전하가 있으면 거기서 비롯된 전기장(벡터장)은 온 사방으로 구면대칭적으로 뻗어나간다. 따라서 전기전하를 중심으로 거리가 r인 구면을 가상적으로 그려봤을 때 (이 면을 가우스 면이라고 부른다) 그 구면을 통과하는 전기장은 항상 구면에 수직인 방향으로 똑같은 크기를 가지고 뻗어나갈 것이다. 전기장은 구면에 수직이고, 또한 구면의 넓이를 규정하는 면적분의 요소 dA의 방향도 구면에 수직이므로 전기장과 dA는 같은 방향이다. 따라서 위 식의 우변은 F⋅4πr²가 된다. 이 값을 좌변과 조합하면 거리의 제곱에 반비례하는 힘을 얻는다. 이는 전기장(쿨롱의 힘)이나 중력(만유인력)에 모두 공통적이다.  

 

 

 

 

 

[참고] 이종필. 『이종필의 아주 특별한 상대성이론 강의』. 동아시아, 2015.