행렬식(determinant)의 기하학적 의미

선형대수학에서 말하는 행렬식은 기하학적으로 어떤 의미가 있을까?

2x2로 이루어진 2차 행렬식과 3x3으로 이루어진 3차 행렬식의 기하학적인 의미에 대해서 알아보자.

 

 

2차 행렬식의 기하학적 의미

 

다음과 같이 좌표평면 위의 두 점 P, Q 와 원점 O가 만드는 삼각형 OPQ가 있다고 하자.

 

 

 

삼각형 OPQ의 넓이는 다음과 같이 계산될 수 있다.

 

 

 

 

행렬 A를 다음과 같이 정의하면

 

 

 

 

결론적으로 삼각형 OPQ의 넓이는 A의 행렬식(determinant)의 절반이 된다.

 

 

 

 

 

3차 행렬식의 기하학적 의미

 

이제 3차원 공간에의 행렬식의 기하학적 의미를 살펴보자. 다음과 같이 3차원 공간의 세 벡터

 

 

 

 

로 이루어지는 평행사변형을 생각하자.

 

 

 

 

세 벡터 x, y, z 에 의해 만들어지는 평행육면체의 부피는 다음과 같이 x, y 에 의해 만들어지는 평생사변형의 넓이와 z를 벡터 x X y 에 투영된 길이의 곱과 같다. 즉, x, y, z 의 스칼라 삼중곱(scalar triple product)이다.

 

 

 

 

결론적으로, 평행육면체의 부피 V 는 세 벡터 x, y, z의 행렬식(determinant)의 절댓값과 같다.