삼각형 내부점의 무게중심 좌표(barycentric coordinate) 구하기

다음 그림과 같이 3차원 공간의 삼각형 pqr내부에 점 a가 있을 때 이 점의 무게중심 좌표 (α, β, γ)를 구해보자. 삼각형 pqr과 점 a는 같은 평면 위에 존재한다고 가정한다. 이 말은 α, β, γ의 합이 1이라는 것을 뜻한다.

 

 

 

 

점 a의 위치가 첫번째 정점 p와 같다면 (α, β, γ) = (1, 0, 0),

점 a의 위치가 두번째 정점 q와 같다면 (α, β, γ) = (0, 1, 0),

점 a의 위치가 세번째 정점 r와 같다면 (α, β, γ) = (0, 0, 1) 이다.

 

 

그 외 일반적인 경우에는 우선 세번째 정점 r을 기준으로 벡터를 만들어보자.

 

 

 

 

그러면 (α, β, γ) 에 대하여 다음 식이 성립한다.

 

 

 

 

그리고 다음과 같이 선형 시스템으로 다시 표현할 수 있다. 

 

 

 

 

그런데 이 식은 방정식이 3개인데 비해, 구해야할 미지수는 2개이다. 즉 방정식의 개수가 미지수 개수보다 많은 over-determined 형태이다. 이 방정식을 최소 자승해(Least square solution)로 풀기 위해 양변에 A의 전치행렬(Transpose)을 곱하여 정규 방정식(Normal equation)으로 변형한다.

 

 

 

 

정규 방정식은 방정식의 수와 미지수의 수가 같으며 A^TA의 역행렬은 항상 존재한다. 식을 다음과 같이 다시 쓰고 (α, β, γ)를 구하면

 

 

 

이다.

 

 

추가로, 구해진 (α, β, γ)의 각 부호에 따라 점 a가 삼각형을 기준으로 위치하는 영역은 다음과 같다.