메쉬 위의 측지 극좌표 (Geodesic Polar Coordinates on Polygonal Meshes)

측지 극좌표 (Geodesic Polar Coordinates)

 

측지 극좌표 (Geodesic Polar Coordinates)에 대해 알아보자.

3차원 공간의 곡면 S 위에서 측지 극좌표란 곡면의 한 점을 길이와 방향을 써서 평면 위의 파라미터로 표현하는 로컬 좌표이다. 극좌표계는 두 점 사이의 관계가 각이나 거리로 쉽게 표현되는 경우에 가장 유용하다. 

이 글에서는 삼각 메쉬 위에서 측지 극좌표를 근사시키는 방법을 소개한다. 

 

 

아래 그림은 곡면 S 위의 점 v가 접평면 T_sS 위의 극좌표 p로 매개화(parameterization)되는 상황을 보여준다. 접평면 대신 2차원 평면을 생각하면 v와 s를 연결하는 최단 측지선의 길이와 방향에 의해 매개화된다고 생각할 수도 있다. 이렇게 접평면을 사용해서 기준점 s 주변점을 극좌표로 매핑하는 방식을 GPM: Geodesic Polar Map이라고 하며 이 극좌표를 측지 극좌표(GPCs: Geodesic Polar Coordinates)라고 한다.

 

 

 

 

Geodesic Polar Map on Triangle Meshes

이제 Geodesic Polar Map을 메쉬 위에서 근사하는 방법에 대해 알아보자.

다음 그림은 삼각 메쉬위의 점 s와 x에 대한 GPM이 각각의 점 v를 대응되는 GPC에 매핑하는 것을 보여준다.

 

 

 

 

여기서 r_s(v)는 v에서 s까지 측지거리이고 θ_s(v)는 기준방향 x에 대한 v의 각도이다. (ex. r_s(s) = 0, θ_s(x) = 0)

 

 

삼각 메쉬 위에서는 기준방향 x를 명확하게 정의하기 어렵다. 따라서 다음 그림과 같이 기준점 s의 3가지 위치에 따라 기준방향을 정하고 로컬 GPM을 정의한다.

 

 

• 기준점 s가 삼각형 내부에 위치한 경우 GPM은 평면에 대한 isometric map이 된다.
• 기준점 s가 에지에 위치한 경우 isometric hinge-map을 이용해서 인접 삼각형들을 평면으로 매핑한다.
• 기준점 s가 정점에 위치한 경우 s까지 거리가 유지되며 각도가 균일하게 스케일링되도록 주변 삼각형을 매핑한다.

 

위 규칙대로 정의한 로컬 GPM은 s 주변 정점들에 대한 방향과 길이를 보존함으로써 s의 주변 삼각형을 평면에 매핑시키는 로컬 매개화라고 할 수 있다. 

 

 

 

[참고] Eivind Lyche and Martin Reimers, Geodesic Polar Coordinates on Polygonal Meshes, Computer Graphics Forum, 2012